Entfernungsbestimmung zweier Punkte in der Ebene

Zur Berechnung der Entfernung zweier Punkte in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, soll das folgende Beispiel dienen.

Gegeben sind die beiden Punkte und .

Schritt 1: Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck.
Die Hypotenuse ist vorgegeben als die Seite, die und verbindet. Die Seiten und verlaufen parallel zu jeweils einer Achse des Koordinatensystem, sodass die Seiten (zwangsläufig) in einem rechten Winkel aufeinandertreffen. Der Schnittpunkt liegt jetzt auf einer Geraden, die durch den Punkt verläuft und gleichzeitig auf einer Geraden, die durch die Punkt verläuft. Dadurch ergeben sich jetzt in einfacher Weise die Längen der Katheten durch und , also 4-1=3 und 5-1=4.

Abstand zweier Punkte in der Ebene


Schritt 2: Wir berechnen die Entfernung.
Wir haben also die Seitenlängen der Katheten. Um jetzt zum Satz des Pythagoras zugehörige Formel anzuwenden, lösen wir diese nach (Länge der Hypotenuse) auf.



 

Wird umbenannt in (Distanz) und und werden durch die Differenzen der jeweiligen - und -Werte unserer Punkte ersetzt, dann ergibt sich die folgende Formel:

 


Jetzt müssen nur noch die Werte in die Gleichung eingesetzt werden. Für die Entfernung der beiden Punkte P und Q, die in einem kartesischen Koordinatensystem auch euklidischer Abstand  genannt wird, ergibt sich schließlich für unser Beispiel der Wert 5.

 
Nun weißt Du wie der Abstand zweier Punkte in der Ebene berechnet werden kann.
Jetzt folgt der dreidimensionale Fall, der ähnlich ist.