Rechenbeispiel

Entfernungsbestimmung zweier Punkte im Raum

Bleiben wir einfach bei dem Beispiel mit den zwei Funkstationen und dem Smartphone.

Gegeben sind also die Fixpunkte $P(1,2)$ und $Q(4,4)$

sowie die Entfernungen (Radien)

${d_1}=\sqrt5$ und ${d_2}=\sqrt10$

Gesucht werden die Koordinaten des Punktes $S$ .

Ausgangsgleichungen:

$(x_p-x_s)^2+(y_p-y_s)^2={d_1}^2$
$(x_q-x_s)^2+(y_q-y_s)^2={d_2}^2$

Werte des Beispiels:

$x_p=1, y_p=2, x_q=4, y_q=4, d_1=\sqrt{5}, d_2=\sqrt{10}$

Einsetzen der Werte:

$(1-x_s)^2+(2-y_s)^2=5$

$(4-x_s)^2+(4-y_s)^2=10$

Anwenden der binomischen Formel:

$1-2x_s+x_s^2+4-4y_s+y_s^2=5$

$16-8x_s+x_s^2+16-8y_s+y_s^2=10$

Ordnen / Vereinfachen

$x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0$ (Gleichung I.)

$x_s^2-8x_s-8y_s+y_s^2=-22$ (Gleichung II.)

Gleichung II. von Gleichung I. abziehen ( ${x_s}^2$ und ${y_s}^2$ fallen weg)

$6x_s+4y_s=22$

Vereinfachen

$3x_s+2y_s=11$

nach $y_s$ auflösen

$y_s=\frac {11-3x_s}{2}$

$y_s$ in Gleichung I. einsetzen und Normalform herstellen ( $a x^2 +b x + c =0$ )

$x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0$ (Gleichung I.)

$x_s^2-2x_s-4(\frac {11-3x_s}{2})+(\frac {11-3x_s}{2})^2=0$

$x_s^2-2x_s-\frac {44-12x_s}{2}+\frac {(121-66x_s+9x_s^2)}{4}=0$

$4x_s^2-8x_s-88+24x_s+121-66x_s+9x_s^2=0$

$13x_s^2-50x_s+33=0$

Lösungsformel anwenden

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-(-50)\pm\sqrt{(-50)^2-4\cdot13\cdot33}}{2\cdot13}$

$x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{2500-1716}}{26}$

$x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{784}}{26}$

$x_{1,2}=\frac{50\pm28}{26}$

$x_1=3$

$x_2=\approx 0,846...$

Einsetzen in $y_s=\frac {11-3x_s}{2}$

$y_1=1$

$y_2=\approx 4,230...$

Lösung

Der gesuchte Schnittpunkt $S$ besitzt die Koordinaten $(3,1)$ ,
der zweite Schnittpunkt -die zweite mögliche Position, die aufgrund bestimmter Bedingungen auf die hier nicht weiter eingegangen wird ausgeschlossen werden kann- liegt bei $(0,846...,4,230...)$ .