Allgemeiner Fall

Die Position eines Punktes in einer Ebene lässt sich ebenfalls bestimmen, wenn die Koordinaten zweier Fixpunkte und und wenn ebenfalls die beiden Entfernungen von  zu den beiden Fixpunkten bekannt sind.

 

Positionsbestimmung bei zwei Fixpunkten in der Ebene

Positionsbestimmung mittels zweier Fixpunkte


Die Abbildung zeigt den allgemeinen Fall. Nach den nun bekannten Formeln zur Berechnung von Abständen zwischen zwei Punkten lassen sich zwei Bestimmungsgleichungen aufstellen mit den beiden unbekannten Werten für die - und -Koordinate des Standortes S.

 

Dieses Gleichungssystem kann mit Methoden der Algebra nach den Koordinaten und des gesuchten Standortes aufgelöst werden.

Aus der Darstellung ergibt sich auch eine einfache geometrische Konstruktionsvorschrift zur Bestimmung des unbekannten Standortes . Um die beiden Fixpunkte und werden Kreise mit dem Radius der Entfernungen und geschlagen. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten, von denen einer in der Regel sofort ausgeschlossen werden kann. Der Sonderfall nur eines einzigen Berührpunktes wurde hier nicht weiter betrachtet.

Exkurs:
Die Positionsbestimmung mittels Fixpunkten hat unabhängig von GPS bereits einen direkten Anwendungsbezug. Als Stichwort sei  "Indoor Positioning" genannt.

Die Positionsbestimmung innerhalb von Gebäuden ist natürlich auch für mobile ortsbezogene Lernangebote interessant, spätestens dann, wenn kein GPS-Signal vorhanden ist bzw. genutzt werden kann, wie in einem Glashaus eines Botanischen Gartens oder in einem unterirdischen Zoo.

Stelle dir den folgenden vereinfachten Anwendungsfall vor:
Zwei Stationen senden ein Funksignal mit gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit, das von deinem Smartphone empfangen wird. Über eine Laufzeitmessung des Signals ermittelt dein Smartphone die Entfernungen zu den Stationen. Sind die Standorte der Stationen bekannt sind, dann kannst Du den eigenen Standort berechnen.
Positionsbestimmung - Indoor Beispiel


Die Bestimmung einer GPS-Position geschieht ebenfalls mithilfe von bekannten Fixpunkten, nämlich denen der Satelliten, die ihre Positionen per Funk senden.
Vielleicht kannst Du dir schon vorstellen, wie das ganze funktioniert.

Da die Berechnung der Position bei gegebenen zwei Fixpunkten nicht ganz so einfach ist, wie die Berechnung der Entfernung zweier Punkte in der Ebene, soll zuvor noch ein konkretes Rechenbeispiel gegeben werden.

Die Position eines Punktes im Raum lässt sich bestimmen, wenn die Koordinaten dreier Fixpunkte und zusätzlich die drei Entfernungen , und von zu den drei Fixpunkten ebenfalls bekannt sind.

Befinden wir uns jetzt an einer bestimmten Position auf der Erdoberfläche (nachfolgende Abbildung weiße Kugel) im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem (ECEF-System) und kennen die Koordinaten von drei Satelliten -das sind unsere Fixpunkte zu einem bestimmten Zeitpunkt- und dazu die Entfernungen zu diesen, dann können wir die eigene Position berechnen.

Die gesuchte Position ist der auf der Erdoberfläche gelegene Schnittpunkt der drei Kugeloberflächen. Zur Berechnung können nun drei Kreisgleichungen aufgestellt werden.
In der Abbildung sind die drei Kreise als schwarze Ringe um die Satelliten dargestellt.

 

GPS Positionsbestimmung

GPS Positionsbestimmung als interaktive 3D-Ansicht
(erforderlich ist ein X3D unterstützender Browser s. x3dom.org/contact
Dateigröße ca. 10 MB, das Laden kann etwas dauern.)

 


Wie nun eine GPS-Position tatsächlich berechnet wird und was dazu erforderlich ist, das wird auf der folgenden Seite erläutert.

Entfernungsbestimmung zweier Punkte im Raum

Bleiben wir einfach bei dem Beispiel mit den zwei Funkstationen und dem Smartphone.


Gegeben sind also die Fixpunkte und

sowie die Entfernungen (Radien)

und

Gesucht werden die Koordinaten des Punktes .

 

Positionsbestimmung bei zwei Fixpunkten in der Ebene - Rechenbeispiel

 

Ausgangsgleichungen:





Werte des Beispiels:




Einsetzen der Werte:






Anwenden der binomischen Formel:






Ordnen / Vereinfachen

(Gleichung I.)

(Gleichung II.)


Gleichung II. von Gleichung I. abziehen ( und fallen weg)




Vereinfachen





nach auflösen




in Gleichung I. einsetzen und Normalform herstellen ()

(Gleichung I.)











Lösungsformel anwenden

















Einsetzen in







Lösung


Der gesuchte Schnittpunkt besitzt die Koordinaten ,
der zweite Schnittpunkt -die zweite mögliche Position, die aufgrund bestimmter Bedingungen auf die hier nicht weiter eingegangen wird ausgeschlossen werden kann- liegt bei .

Positionsbestimmung bei zwei Fixpunkten in der Ebene - Rechenbeispiel - Lösung

Beim GPS werden (aus Genauigkeitsgründen) immer mindestens vier Satelliten zu Positionsbestimmung herangezogen.
Die Position wird bei vier Satelliten durch Lösen eines Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten ermittelt.

Bei der Positionsberechnung liegen zunächst vier Unbekannte vor:

- X-Empfängerkoordinate in einem kartes. Koordinatensystem

- Y-Empfängerkoordinate in einem kartes. Koordinatensystem

- Z-Empfängerkoordinate in einem kartes. Koordinatensystem

- Ungenauigkeit der Quarzuhr des Empfängers

Somit muss ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten aufgestellt werden. Zur Standortbestimmung werden daher mindestens vier Pseudoentfernungen zu verschiedenen Satelliten benötigt:






Dabei sind:

die gemessenen Laufzeiten der Satellitensignale

die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals im Vakuum

die bekannten Koordinaten der Satelliten die mit den Satellitensignalen übertragen werden

die unbekannten Koordinaten des Empfängers

der unbekannte Zeitfehler des Empfängers

Das nichtlineare Gleichungssystem liefert die Grundlage zur Berechnung der Empfängerkoordinaten. Dabei sind zumeist mehr als vier Satelliten zu berücksichtigen, so dass das Gleichungssystem überbestimmt ist und Ausgleichsrechnungen durchgeführt werden. Nach Abschluss der Rechnungen liegt die Koordinate des Standortes des Empfängers im ECEF-System vor, also in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem dessen Ursprung sich im Massezentrum der Erde befindet.

Die X,Y,Z-Koordinate kann zur weiteren Verwendung in ein Koordinatensystem der NutzerInnen umgerechnet.
Diese Transformation kann im Ergebnis z.B. eine Geographische Koordinate sein, die für andere Geodaten-/ GPS-basierte Anwendungen und Methoden genutzt wird.

 


Ein Beispiel ist das Geokodieren von Fotos, was im Modul Geotagging behandelt wird.